UyHiP-2012-Nov

似乎比较简单 →_→

Problem

令 \(x_1, x_2, \dots, x_n\) 为 \(n\) 个随机变量，易知 \(x\) 的和 \(S\) 服从正态分布， \(x^2_i\) 服从 \(n\) 个自由变量的卡方分布。

如果给定 \(S\) ，求 \(x^2_i\) 满足什么分布？

Solution

令 \(\bar{x} = \frac{S}{n}\) ，我们有 \[\sum (x_i - \bar{x})^2 = \sum x^2_i - n \bar{x}^2\]

注意到既然 \(S\) 是固定的，则 \(\bar{x}\) 也是固定的，于是 \(x^2_i\) 满足 \(\frac{S^2}{n} + \chi^2(n - 1)\) 分布。注意只有 \(n - 1\) 个随机变量。