TOAD 33 - Abduction

似乎这几天刷水刷的比较多 >_<

似乎最近卖萌比较多 >__<

Problem

在一个单位圆上随机取点，期望要取几个点，才能使这若干个点的凸包包含圆心？

Solution

期望 5 个点。

首先至少是 3 个点。令 \(X\) 为一个随机变量，表示某次随机取了 \(X\) 个点后的凸包第一次包含圆心。则对于任意正整数 \(t\) ，有：

\[P(X \geq 1 + t) = t(t - 1) \int_0^{\frac{1}{2}} x^{t - 2} \mathrm{d} x = \frac{t}{2^{t - 1}}\]

（不过谁来解释一下这个方程啊我真心没看懂啊…… >__<）（一口老血喷出来）

在 @dyh 的提示下终于看懂了 …… \(P(X \geq 1 + t)\) 就是 \(P(X > t)\) 也就是随机取 \(t\) 个点使得圆心没有被包含的概率。考虑左右两端点的标号，有 \(t(t-1)\) 种方案，后面枚举的 \(x\) 表示这若干个点所占弧长（假设圆的周长被缩小为 1 ）。

所以我们有

\[E(X) = 1 + \sum_{t = 1}^{\infty} P(X \geq 1 + t) = 1 + \sum_{1}^{\infty} \frac{t}{2^{t - 1}} = 5\]

nonsense

最近 QQ 总是会陷入一个奇怪的状态，虽然显示在线，但是却是不在线的……（如何检验？给自己发信息发现收不到 →_→）网络可以确定没问题，难道是 64 位的问题？

最近试图当文艺好青年，结果被一本数学书瞬间打回原形真是不能多说。不要再挣扎了。