Sophomore-dream

在看到之前你会以为这是啥 = =？

wiki 在 这里

其实就是一个公式罢了。刚刚才发现的，实在是太漂亮了： \[\int_0^1 \frac{1}{x^x} \mathrm{d} x = \sum_{n=1} \frac{1}{n^n}\]

从一个积分到一个求和，连续到离散，真是不错。

证明的话， wiki 上有吧，摘抄如下。

首先变形： \(x^{-x} = e^{-x \log x}\) 。展开有： \[x^{-x} =\sum_{n=0} \frac{(-x \log x)^n}{n!}\]

代入并提前 \(\sum\) ： \[\int_0^1 \frac{1}{x^x} \mathrm{d} x = \int_0^1 \sum_{n=0} \frac{(-x \log x)^n}{n!} \mathrm{d} x = \sum_{n=0} \frac{1}{n!} \int_0^1 (-x \log x)^n \mathrm{d}x\]

换元，令 \(x = e^{-\frac{t}{n+1}}, \mathrm{d} x = -\frac{e^{-\frac{t}{n+1}}}{n+1}\mathrm{d}t\) ， \(0 < t < \infty\) ： \[ \begin{array}{rcl} \int_0^1 (-x \log x)^n \mathrm{d}x & = & \int_0^\infty(e^{-\frac{t}{n+1}} \frac{t}{n+1})^n \frac{-e^{-\frac{t}{n+1}}}{n+1}\mathrm{d}t \\ & = & \frac{1}{(n+1)^{n+1}} \int_\infty^0 -e^{-t} t^n \mathrm{d} t \\ & = & \frac{n!}{(n+1)^{n+1}} \\ \end{array} \]

再次代入： \[ \begin{array}{rcl} \int_0^1 \frac{1}{x^x} \mathrm{d} x & = & \sum_{n=0} \frac{1}{n!} \int_0^1 (-x \log x)^n \mathrm{d}x \\ & = & \sum_{n=0} \frac{1}{n!} \frac{n!}{(n+1)^{n+1}} \\ & = & \sum_{n=1} \frac{1}{n^n} \\ \end{array} \]