姚班招生题目
听天由命的节奏？
Problem
Mathematics (60 pts + 10 bonus pts)
1 (5 pts)
一个人、一只狼、一头羊、一卷白菜要过河。如果人不在，狼会吃羊，羊会吃白菜。求过河方案。
2 (10 pts)
两个 \(8 \times 8\) 的棋盘，第一个棋盘 \((i, j)\) 为黑当且仅当 \(\frac{i}{2} \equiv \frac{j}{2} \mod{2}\) ，第二个棋盘 \((i, j)\) 为黑当且仅当 \(i \equiv j \mod{2}\) 。现在要求将第一个棋盘剪成若干块，然后重新组成第二个棋盘，问至少要剪成多少块，并证明最优性。
3 (10 pts)
求 \([1, 10^6]\) 内所有数字的数位和。
4 (10 pts)
\(n\) 个人，每个人有一个秘密，现在任意两个可以通过电话交流，每次交流后两人都知道了对方知道的所有的秘密。问至少要经过多少次交流才能使得每个人都知道所有秘密。
5 (15 pts)
A B 两点相距 1 个单位，现在你可以从 A 走 \(n\) 步到 B 去，每步必须走直线，且你到 B 的距离一定要减小。求你走的最长距离。
6 (10 pts + 10 bonus pts)
A B 两人玩游戏，A 被蒙上了眼睛。一个圆桌子上有 \(n\) 个硬币，每个硬币要么正面朝上要么反面朝上。两人轮流进行操作，每次操作如下：
- A 选择若干个位置
- B 旋转桌子
- 翻转 A 选择位置上的若干个硬币
如果所有的硬币都是朝上的那就是 A 赢。否则 B 赢。
问题有三个：
- (5 pts) 给出一个 \(n = 4\) 的必胜策略。所谓必胜策略是指无论初始状况怎么样，A 总是可以赢的策略。
- (5 pts) 证明 \(n\) 是奇数时 A 不存在必胜策略。
- (bonus 10 pts) 证明存在必胜策略，当且仅当 \(n\) 是 2 的整数次幂。
Physics (40 pts)
1 (5 pts)
画两个图的电场线。第一个图为一个金属空心球体内有一个正的点电荷，第二个图为外有一个正的点电荷。
2 (5 pts)
一个均匀绳子，长度为 \(L\) ，质量为 \(m\) ，下端刚好接触一个天平。现在开始自由下落。当天平上绳子的长度恰好为 \(x\) 时，求天平的超级罗瞬间读数。
3 (10 pts)
一个无穷网格，每条线段的电阻为 1 欧，求相邻两点之间的等效电阻的大小。
4 (10 pts)
将一个硬币抛起来，如果立起来的可能性为 \(\frac{1}{3}\) ，求硬币半径与厚度的关系。
5 (10 pts)
- (5 pts) 一个质量为 \(M\) 的球上放一个质量为 \(m\) 的小球。将两个球从 1m 出自由落体，已知 \(M\) 远远大于 \(m\) ，求小球能弹多高。
- (5 pts) 由第一问画出航天器借助行星来进行加速的原理。
所有碰撞均为完全弹性碰撞。
Solution
Mathematics
1
老题兼水题。不说了。
2
容易得到第一个棋盘相邻两个格子如果颜色相同，那么必须分开在两个不同的块中。于是至少要分 25 块。然后发现 25 块是可行的。然后就这样了。
3
计算 \([0, 10^6 - 1]\) 的和，然后加上 \(10^6\) 的和即可。
4
答案是 \(2n - 4\) ，请移步 原题 。
5
答案是 \(\sqrt{n}\) 。数学归纳法，当 \(n = 1\) 时显然成立，然后假设 A \(\to\) C 一步然后 C \(\to\) B \(n\) 步。C \(\to\) B 就是一个子问题，利用 AC 与 BC 的关系，求出 \(AC + \sqrt{n}BC\) 的最大值可以得到是 \(\sqrt{n+1}\) 。
6
详情请见 以前的某题 。
Physics
1
其实我不会做。
2
其实我还是不会做。
据说是微元法……？
3、4
这是 原题 我会乱说？
5
只要上过某些高中物理课程就会做吧。