一个有趣的概率小问题
题目
前几天做作业，做到这么一个题：
现在有一个 6 面的公平骰子，每一面标号为 1 到 6，我们一直投这个骰子，直到出现 6 就停。Conditioned on 投出来的数都是偶数，期望要投多少次？
看完题后的第一想法，既然每一次都只能是偶数，也就是只能出现 \(\{2,4,6\}\)，且出现 6 就停，那么答案就是 \(3\) 咯。
后来我和我室友 @lsx bibi 的时候，他说答案不是 3……心里一惊，咋就不是 3 了呢？
大力算
……既然双方不能达成共识，那我们就大力算吧。首先我们考虑最原始的做法，即直接按照定义算。令概率空间 \(U\) 为 \([6]^*\) 所有无限长的字母表为 \([6]\) 的字符创。令 \(\mathcal{E}\) 表示第一个 6 出现之前都是偶数这个事件，有 \[ \Pr[\mathcal{E}] = \frac{1}{6} \times \left (1 + \frac{1}{3} + \left( \frac{1}{3}\right)^2 + \cdots \right) = \frac{1}{4}. \] 令 \(f(x)\) 为字符串 \(x\) 中第一个 6 出现的位置，直接代入定义有： \[ \mathbb{E}_X[f(X) | \mathcal{E}] = \frac{1}{\Pr[\mathcal{E}]} \int_{x \in \mathcal{E}} \Pr[X = x] f(x) \mathrm{d} x = 4 \times \frac{1}{6} \times \sum_{i=1} \left( \frac{1}{3} \right)^{i-1} i = \frac{3}{2}. \] ……还真不是 \(3\) 啊，有点违背我直觉。
新游戏
更加有趣的是，如果这不是一个 6 面的骰子呢？我们把游戏改为：投一个 \(n \geq 6\) 面的骰子，出现 6 停止。Conditioned on 之前投出来的都是 \(\{2, 4, 6\}\) 中的数，期望要投多少次呢？
这个新问题是很好算的，直接根据上面计算照喵画虎照葫芦画瓢 画蛇添足 重新算一下就好了。得到的答案居然是一个和 \(n\) 相关的数：\(\frac{n}{n - 2}\).
思考一下，为啥会是这么一个数？
新解释
其实上面这个数给了我们很强的启发了： \[ \frac{n}{n - 2} = \frac{1}{1 - \frac{2}{n}} = 1 + \frac{2}{n} + \left( \frac{2}{n} \right)^2 + \cdots \] 这个数描述的：我们每一步有 \(\frac{2}{n}\) 的概率停止，停止时的期望步数。如何证明这个新的期望和我们游戏期望步数一样呢？
进一步观察发现：在这个游戏中，\(6\) 和所有非 \(2\) 非 \(4\) 的数是等价的。即，Conditioned on 之前投出来的数都是 \(\{2, 4\}\) 中的数，出现 6 停下的期望步数和出现 5 停下的期望步数应该是一样的。那么，在 \(U\) 内随机一个 \(x\)，如果出现任何一个非 \(2\) 非 \(4\) 的数都停下来，则这个时候任何非 \(2\) 非 \(4\) 的数出现的概率是相等的。定义随机变量 \(Y\) 为 \(X\) 第一个出现非 \(2\) 非 \(4\) 的位置，我们有 \[ \mathbb{E}_X[f(X) | \mathcal{E}] = \frac{\mathbb{E}_X[f(X) \mathbb{I}[X \in \mathcal{E}]]}{\Pr[\mathcal{E}]} = \frac{1}{\Pr[\mathcal{E}]} \mathbb{E}_Y[\mathbb{E}_X[f(X) \mathbb{I}[X \in \mathcal{E}] |Y]]. \] 注意到 conditioned on \(Y\)，\(f(X) = Y\) 且 \(\mathbb{I}[X \in \mathcal{E}]\) 和 \(Y\) 是独立的，故 \[ \mathbb{E}_X[f(X) | \mathcal{E}] = \frac{1}{\Pr[\mathcal{E}]} \mathbb{E}_Y[Y \Pr[X \in \mathcal{E} | Y]] = \mathbb{E}_Y[Y \Pr[X \in \mathcal{E}]] = \mathbb{E}_Y[Y] = \frac{n}{n - 2}. \]
更新
这文章发了很久了，之前我的学弟 yml 跟我说我算错了，后来我好像又在哪里看到一篇 blog ，算了一通也和我不是一个数。我就不明白了，为啥我两种方法都算错了？？？当时还码了个代码算的，怎么还是错了？？？
我重新大力算了一遍：令 \(p = \frac{n/2 - 1}{n}\)，则 \[ \sum_{i = 1} \frac{1}{n} p^{i-1} = \frac{1}{n(1 - p)}, \] 又有 \[ \sum_{i=1} \frac{1}{n} p^{i-1} i = \frac{1}{n(1-p)^2}, \] 故答案即为 \(\frac{1}{1 - p} = \frac{2n}{n + 2}\).
……好像确实是我算错了。我来看看我到底是怎么算错了！看了看我的新解释，突然发现我这次题目看错了 23333 这个新游戏是 conditioned on 之前投出来的数都是 \(\{2, 4, 6\}\) 而不是之前投出来的数都是偶数。然后我又码了个小代码，发现确实是这样的：如果 conditioned on 偶数，那么答案是 \(\frac{2n}{n+2}\)；如果 conditioned on \(\{2, 4, 6\}\)，那么答案是 \(\frac{n}{n-2}\)。