连分数
\(\newcommand{\erf}{\operatorname{erf}} \newcommand{\erfc}{\operatorname{erfc}}\) 不久之前，我在票圈看到了这么一个问题：
兴趣一下子就上来了……
虽然我也不会算，但是我会码代码呀。于是我码了个简简单单的代码：
1
2
3
4ans = 0
for i in reversed(range(1, 100)):
ans = 1 / sqrt(1 + i / ans)
print(ans)
后来想，这个东西带 sqrt 八成是搞不出来的，不如我们看看没有 sqrt 是什么情况吧……这其实也不好搞，但是我们可以强行找规律：令 \[ a_n = \cfrac{1}{1 + \cfrac{\ddots}{\ddots \cfrac{n - 1}{1 + n}}} = \frac{p_n}{q_n}, \] 手动算几个数： \[ \{a\} = \frac{1}{1}, \frac{1}{3}, \frac{4}{6}, \frac{8}{18}, \frac{28}{48}, \dots \] 然后召唤 OEIS，可以搜出分子为 A059480，分母为 A000932。由于我们求 \(\lim_{n \to \infty} \frac{p_n}{q_n}\)，所以我们要找 \(p\) 和 \(q\) 的渐进表达式。幸运的是，OEIS 上给出了两者的渐进表达： \[ \begin{cases} p_n \sim ~ \left(\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{\pi e}}{2} \left(\erf \left(\frac{1}{\sqrt{2}} \right) - 1 \right) \right) n^{n/2+1} \exp(\sqrt{n} - n/2 - 1/4) \left(1+\frac{31}{24 \sqrt{n}} \right), \\ q_{n-1} \sim \frac{\sqrt{\pi}}{2} \left(1-\erf \left(\frac{1}{\sqrt{2}} \right) \right) n^{n/2+1/2} \exp(\sqrt{n}-n/2+1/4) \left(1+\frac{19}{24\sqrt{n}} \right). \end{cases} \] （这里插一句，给出这个表达式的人是同一个，好像还是个国际象棋大师，他把他求渐进表达式的方法放在 arxiv 上了……）剩下的就是苦力活， 把 \(\frac{p_n}{q_n}\) 慢慢化简一下，消掉无穷小项，可得 \[ \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{p_n}{q_n} = \frac{1}{\sqrt{\pi e / 2} \left(1-\erf \left(\frac{1}{\sqrt{2}} \right) \right)} - 1. \] Amazing! 居然这么整洁……
我正准备把这个结果告诉朋友，结果他抢先一步说：
我大受震撼，忙问他怎么搞出来的，结果……
我？？？这也在你的算计之内吗拉马努金？！
我突然发现，我朋友这里面引入了一个 \[ a = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)!!}, \] 但我这里面似乎就一个 \(\text{erf}(1 / \sqrt{2})\)，如果我们没算错的话，这就意味着…… \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)!!} = \sqrt{\pi e / 2} \erf(1 / \sqrt{2}). \] 哈哈哈哈拉马努金也不过如此（doge）。这个式子怎么证明还不知道，但是此时我已经凌晨好几点了，打工人还要早起上班，于是我就去睡觉了。
第二天早上一起来，发现朋友已经证出来了：
我一看上面那个式子觉得好熟悉啊……这个式子看起来可以用来算 erf，而我之前研究的解析方法数素数中少不了要来算 erf，于是翻了翻，虽然没在 Wikipedia 找到它的证明，但是找到了 这个：
\[
\erfc z = \frac{2}{\sqrt{\pi}} e^{-z^2} \cfrac{1}{z^2 + \cfrac{1/2}{1 + \cfrac{2/2}{z^2 + \cfrac{3/2}{1 + \dots}}}},
\]
这么一看，直接令 \(z = \frac{1}{\sqrt{2}}\) 就可以直接得出
\[
\erfc \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{\pi e}} \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{2}{1 + \cfrac{3}{1 + \dots}}}}.
\]
好了，游戏结束。忙活了一场，人家早就给出答案了。连分数这水太深，我真是把握不住……