2024年新高考 1 卷数学最后一题
现在不是刚好在高考嘛，我也来看了一下，看有没有新东西……
下界
显然，我们只需要关注下标就可以了。直接搞第三问吧……
先来一张图证明：对于任意 \(0 \leq i \leq j \leq m\)，\(\{1, \dots, 4m+2\}\) 是 \((4i + 1, 4j+2)\) 可分的。图里同样背景颜色的数字在同一组，黑色表示删去的两项。
再来一张图证明：对于任意 \(0 \leq i < m, 0 \leq j \leq m\) 且 \(i + 1 < j\)，\(\{1, \dots, 4m+2\}\) 是 \((4i + 2, 4j+1)\) 可分的：
只算这两种情况，我们可以得到 \(P_m\) 的一个下界： \[ P_m \geq \frac{\binom{m+2}{2} + \binom{m}{2}}{\binom{4m+2}{2}} = \frac{m^2 + m + 1}{8m^2 + 6m + 1} > \frac{1}{8}. \] 证毕。
上界
既然我们都有下界了，那我们也不妨来算算上界吧。这里我们直接给出结论：刚才分析的两种情况几乎就是全部可分的情况了： \[ \frac{m^2 + m + 1}{8m^2 + 6m + 1} \leq P_m \leq \frac{m^2 + 2 m + 1}{8m^2 + 6m + 1}. \] 下面给出证明。
假设 \((i, j)\) 可分，我们来推测 \((i, j)\) 的性质。令 \(S^* = \{1, \dots, 4m + 2\}\). 我们来证明 \((i, j)\) 必然一个 mod 4 = 1，另一个 mod 4 = 2.
令 \(g(A) = \sum_{i \in A} \omega^i\)，其中 \(\omega = i\) 为四次单位根，则对于任何一个长为 4 的等差序列 \(A = \{u, u + v, u + 2v, u + 3v\}\)，均有 \[ g(A) = \omega^u(1 + \omega^v + \omega^{2v} + \omega^{3v}) = 0. \] 又有 \[ g(S^*) = \sum_{1 \leq i \leq 4m+2} \omega^{i} = \omega + \omega^2 = i - 1. \] 所以删掉的两个数 \((p, q)\) 必须满足 \(\omega^p + \omega^q = i - 1\)，证毕。
之前用了一个非常啰嗦的证明……
对于任何序列 \(S\)，令 \(f(S)_i\) 表示该序列中 \(\equiv i \pmod{4}\) 的数目。易得 \[ f(S^*) = [m, m + 1, m + 1, m], \]
我们先观察长度为 4 的等差数列 \(A = \{u, u + v, u + 2v, u + 3v\}\)，对公差 \(v\) 分类后可以得到 \(f(A)\) 的所有可能性：
- \(v \equiv 0 \pmod{4}\)：\([4, 0, 0, 0], [0, 4, 0, 0], [0, 0, 4, 0], [0, 0, 0, 4]\)；
- \(v \equiv 1, 3 \pmod{4}\)：\([1, 1, 1, 1]\)；
- \(v \equiv 2 \pmod {3}\)：\([0, 2, 0, 2], [2, 0, 2, 0]\)。
通过逐步观察，我们可以确定 \(\{i \bmod 4, j \bmod 4\}\)：
- 任何情况下，\(f(A)_0 + f(A)_1 \equiv 0 \pmod{2}\)，而 \(f(S^*)_0 + f(S^*)_1 \equiv 1 \pmod{2}\)，故 \(i, j\) 中有恰好一个数 \(\equiv 0, 1 \pmod {4}\) ，另一个数 \(\equiv 2, 3 \pmod{4}\)。
- 任何情况下，\(f(A)_0 + f(A)_2 \equiv 0 \pmod{2}\)，而 \(f(S^*)_0 + f(S^*)_2 \equiv 1 \pmod{2}\)，故 \(i, j\) 中有恰好一个数 \(\equiv 0, 2 \pmod {4}\) ，另一个数 \(\equiv 1, 3 \pmod{4}\)。
- 故 \(\{i \bmod 4, j \bmod 4\}\) 只能是 \(\{0, 3\}\) 或 \(\{1, 2\}\)。
- 任何情况下，\(f(A)_1 - f(A)_3 \equiv 0 \pmod{4}\)，而 \(f(S^*)_1 - f(S^*)_3 \equiv 1 \pmod{4}\)，故 \(\{i \bmod 4, j \bmod 4\}\) 只能为 \(\{1, 2\}\)。
聪明的同学已经看出来了，这里就是在 \(\mathbb{Z}_4^4\) 下试图用 \(f(A)\) 的线性组合来表达 \(f(S^*) - f(\{i, j\})\)。
显然，所有可能的 \((i, j)\) 对的数目就是 \(f(S^*)_1 f(S^*)_2 = (m+1)^2\)。这样就证明了我们的上界。
容易观察到，这里的上界和下界只差一种情况：就是 \(i \equiv 2 \pmod 4, j = i + 3\) 这种情况。我感觉这种情况应该是不合法的，但是我证不出来了……