平铺矩形

试证明：如果一个大矩形能被有限个小矩形（大小不一定相同）平铺，且小矩形至少一条边为整数，则大矩形至少有一条变为整数。

解答

注意到积分 \[\int_{a}^b e^{2 \pi i x} \mathrm{d} x = e^{2 \pi i a} \left(e^{2 \pi i (b - a)} - 1 \right)\] 为 0 当且仅当 \(b - a \in \mathbb{Z}\)。对于平面上一个矩形区域 \(R\)，我们考虑如下积分：\[I(R) = \iint_R e^{2\pi i (x + y)} \mathrm{d} x \mathrm{d} y,\] 这个积分值为 0 当且仅当 \(R\) 至少有一边长为整数。令 \(R^*\) 为大矩形，\(R_{1, \dots, n}\) 为小矩形，则有 \[I(R^*) = \sum_{i} I(R_i) = 0,\] 故 \(R^*\) 至少有一条边长为整数。

事实上这个题还有很多种证明方法（14 种！），但我最喜欢的还是这个基于积分的证明。

参考资料：

• Fourteen Proofs of a Result About Tiling a Rectangle, Stan Wagon.
• Simple Proofs of a Rectangle Tiling Theorem
• Mathematical Puzzles, Revised Edition, Chapter 24, Integral Rectangles